「完全数　～perfect number～」

2016.12.21

あと数日でクリスマスなので、今日は聖書について。とはいってもキリスト教に関するような話ではありません。

「完全数」をご存知でしょうか。完全数という数字を小さい方から順に調べていくと、初めに出てくるのは「６」になります。

では、「完全数」とはどんな数なのでしょうか。簡単に言えば「ある数の約数のうち、その数を除いた約数の和がその数になるもの」です。言い方をかえれば「ある数の約数をすべて足すとその数の２倍になるもの」となります。こう聞くと、そんなに難しく感じないはずです。早稲田アカデミーのカリキュラムでは、「約数」は小４で出てきますから、小学生でもできるレベルの問題だと思われる方もいらっしゃるでしょう。しかし、そんなに簡単な問題ではないのです。

上記のような条件を満たす「完全数」の中で、一番小さいものは「６」で、その次は「２８」となります。そしてその次は「４９６」。この「４９６」という数字は、古代ギリシア人が天地創造に関わる数としてあがめ、さらに現代では「相対性理論」と「素粒子」の数式解明に大きくつながる数字だそうです。実は以前にNHKで放送されていた番組の受け売りなのですが...。そして、４つ目の完全数は「８１２８」、そして、その次はなんと「３３５５０３３６」。

インターネットで調べてみたところ、２０１４年時点で発見されている「完全数」は全部で４８個であり、そのすべては「末尾が６か８の偶数」になっています。そして「末尾が６、８以外の完全数が存在するか否か」「奇数の完全数が存在するか否か」という問題に関しては、いまでも未解決だそうです。小学生の「算数」のレベルを大きく越えている問題であることがおわかりいただけるでしょう。

この「完全数」の問題ですが、実は今年の中学入試で出題した学校があります。都立大泉高校附属中です。「（問題文中に出てくる）２８は、その約数から２８自身を除いた数をすべてたすと、２８になります。そういう数を（２８以外で）ひとつ挙げなさい」というような問題でした。作られたのは数学の先生なのでしょう。もちろん「完全数」のことをご存知で出題されたのだと思います。小６生が解くのであれば、１から順に約数を調べていって、正解を求めるのが近道のはずです。当然答えは「６」となります。

昨日、私が担当している小４クラスの授業で、「ある数があります。約数をすべてたすとその数の２倍になる、そういう数を小さい方から順に３つ探しなさい」という問題を出してみました。「６」と「２８」までは答えられたのですが、当たり前ですけれど「４９６」まではたどり着けませんでした。「実はね...」ということで、上記したような「完全数」の話をしたのですが、とても興味深そうに聞いてくれていました。「まだまだ未解決の謎があって...」と話をしたところ、ある生徒は「オレが解いてやる、その謎！」と言ってくれました。とても頼もしく感じた瞬間でした。

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